МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА

Современная математика представляет собой собрание большого числа далеко продвинутых абстрактных теорий. И хотя вопросы прикладного характера играли и продолжают играть важную роль в развитии установившихся направлений математики и в формировании ее новых областей, выбор изучаемых задач в математике обычно определяется соображениями о том, в какой мере их решение будет способствовать совершенствованию той или иной области математики.

Таким образом, математика в основном наука теоретическая и поэтому в сложившихся условиях относительно меньше пострадала по сравнению с другими направлениями наук.

В Сибирском отделении РАН сформировались и продолжают успешно работать несколько крупных научных школ в области теоретических и прикладных проблем математики. Математические подразделения Отделения укомплектованы опытными кадрами высшей квалификации и продолжают пополняться молодыми талантливыми специалистами. Свидетельством этого является то, что шесть из двадцати трех молодых математиков страны — докторов наук до 40 лет, являясь представителями этих школ, получили в 1996 году гранты Президента РФ в области математики: М. Лаврентьев (мл.), А. Морозов, И. Тайманов (ИМ), А. Коробкин (ИГИЛ), С. Киселев (ИТПМ), В. Окулов (ИТ). О том же свидетельствует то, что на две "молодежные" вакансии в члены-корреспонденты РАН по специальности "математика" в СО РАН выдвинуто 16 человек, из них 8 из Института математики.

Специальную проблему составляют вычислительные центры Сибирского отделения. Быстрое моральное старение крупных отечественных вычислительных комплексов и бурное развитие персональной вычислительной техники лишило ВЦ прежних функций центров коллективного пользования для многих наук. Президиум Отделения, озабоченный этой ситуацией и тем, что мы теряем опытных молодых программистов, поручил Объединенному ученому совету по математике и информатике подготовить концепцию развития вычислительных центров СО РАН в новых условиях, и ее необходимо рассмотреть на ближайших заседаниях Президиума.

Вместе с тем, каждый из трех вычислительных центров Сибирского отделения постепенно находит свое новое лицо, базируясь, в частности, на формирующиеся интегрированные информационно-телекоммуникационные сети научных центров в Новосибирске, Красноярске и Иркутске.

В 1996 году математиками Отделения получены крупные результаты, некоторые из которых приводятся в данном отчете.

В Институте математики им. С.Л. Соболева построена теория вычислимости над абстрактными моделями на основе определимости. Изучение вычислимости над абстрактными структурами в последние годы привлекает внимание все большего числа специалистов как в логике, так и в информатике. Это связано как с изучением самого фундаментального математического понятия "вычислимость", так и с важностью прикладных проблем в теории построения языков спецификаций, логических языков программирования и языков программирования высокого уровня с абстрактными типами данных. Предложена концепция семантического программирования на основе Sigma-определимости. Такой подход позволил построить естественную теорию вычислимости над вещественными числами и вещественными функциями. Он оказался также эффективным и при решении классических алгоритмических проблем.

В том же институте завершена классификация минимальных подстановочных представлений конечных простых групп. Описаны по модулю классификации конечных простых групп степени, подстепени, стабилизаторы точек и двойные стабилизаторы всех исключительных групп Лиева типа. В отличие от разрешимых групп изучение простой группы невозможно вне какогоFнибудь представления этой группы: подстановочного, матричного, в виде группы автоморфизмов некоторого графа или другого комбинаторного объекта. Среди подстановочных представлений важнейшую роль играют минимальные представления, т.е. точные представления наименьшей степени.

В Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева построена нормализованная оптимальная система подалгебр для алгебры Ли операторов, допускаемых уравнениями газовой динамики со специальным уравнением состояния p = f(s)р^5/3. Эта система включает в себя 1248 представителей, каждый из которых может быть источником точных решений исходных уравнений.

В последние годы одним из наиболее активно развиваемых направлений в математике является геометрия и топология объектов, имеющих размерности 3 и 4. Ярким достижением может считаться теория инвариантов узлов и зацеплений В.А. Васильева. Теория узлов и зацеплений тесно связана с теорией групп кос.

В Институте математики им. С.Л. Соболева вычислены группы гомологий групп кос в телах с ручками. Рассматривалось тело с g ручками. Натуральное число g называется родом тела. Естественным обобщением групп кос из n нитей, лежащих в трехмерном евклидовом пространстве, являются группы кос в телах с ручками. Одним из результатов исследования является теорема о представлении таких групп с помощью образующих и соотношений.

В том же институте установлены аналоги известной теоремы Аумана о совпадении ядер и равновесий для двух типов неклассических рынков: 1) смешанных неатомических систем с гибкими ценами и элементами централизованного планирования; 2) неатомических рынков с наличием благ коллективного пользования. Доказанные теоремы о совпадении ядер и равновесий устанавливают справедливость известной гипотезы Эджворта (Y. Edgeworth, 1845—1926 гг.) для рынков с благами коллективного пользования (оборона, наука и т.п.) и смешанных экономических систем с гибкими ценами на свободном рынке и элементами централизованного планирования в госсекторе (госзаказ, рационирование, фиксированные цены на основные продукты жизнеобеспечения). Все предшествующие результаты (включая основополагающую тео-рему Аумана, 1964 г.) исчерпываются случаем классического рынка (без госсектора и присущих ему функций, включающих обеспечение производства общественных благ и централизованное регулирование).

В последние годы в Институте вычислительных технологий были сконструированы адаптивные методы решения эллиптических задач на нерегулярных и анизотропных регуляторных сетках. В результате численных экспериментов для дальнейших исследований было выбрано направление, основанное на развитии адаптивных методов с использованием анизотропных сеток с треугольными ячейками, которые отрабатывались на жестких модельных задачах, в том числе и в областях сложной формы.

Методы получили применение при решении задач Навье—Стокса, которые описывают движения вязкой жидкости. Известно, что при определенных условиях эти задачи могут иметь несколько устойчивых и неустойчивых решений. С помощью предложенных методов обнаружен ряд таких решений в задаче о течении жидкости в каверне с подвижной стенкой. На рис. 1а, 1б представлены два стационарных решения ("классическое" и новое) этой задачи при числе Рейнольдса Rе=400, отличающиеся лишь начальными приближениями. Этот результат еще раз показывает, что при численном моделировании течений вязкой жидкости на основе уравнений Навье—Стокса можно получить совсем не то решение, которое реализуется на практике.

В области теории вероятностей и математической статистики в Красноярском ВЦ предложена новая модель случайно-множественного распространения, представляющая собой марковскую последовательность случайных множеств, определяемую начальным множеством и вероятностями распространения. Модель может быть использована при описании разнотипных процессов случайного распространения, таких как распространение пожара, экологических загрязнений, эпидемии, рост раковой опухоли, расширение горной выработки (рис. 2). Исследованы теоретические свойства модели и решена обратная задача определения вероятностей распространения по известным множествам — состояниям процесса распространения. Данная модель обобщает известную модель распространения Ричардсона и получила в зарубежной литературе название "модель Воробьева" для распространения пожара.

В том же Вычислительном центре открыт новый класс точно решаемых моделей в неравновесной статистической механике. Эти модели допускают точное суммирование рядов Чепмена—Энскога. Для них получены точные уравнения гидродинамики во всем интервале значений числа Кнудсена. В отличие от барнеттовских и супербарнеттовских уравнений (рис. 3), получаемых суммированием конечного отрезка ряда Чепмена—Энскога, найденные точные уравнения корректны, получены впервые и не имеют аналогов. Проблема нефизических особенностей в разложении Чепмена—Энскога является классической и до сих пор нерешенной.

Рис. 3. Дисперсионные кривые для точного решения и классических приближений в одномерном случае:

В Вычислительном центре (г. Новосибирск) разработан и апробирован метод вариационного согласования вероятностных моделей пространственно-временных метеорологических полей с гидротермодинамической моделью с применением вариационных методов оптимизации и усвоения данных. Реализация метода усвоения основана на решении задачи минимизации функционала качества, характеризующего меру отклонения решения, полученного с помощью численной модели гидротермодинамики, и данных измерений (рис. 4а, 4б).

На рисунках представлен результат гидротермодинамического прогноза в режиме вариационного усвоения на уровне 550 мб. Для прогноза реальные данные были представлены только полем температуры на восьми изобарических поверхностях и на той же регулярной сетке в момент времени t=0. В остальных точках пространства и на всем временном интервале прогноза в качестве реальных данных был использован результат прогноза поля температуры по главным компонентам.

В Вычислительном центре (г. Красноярск) создана новая магнитогазодинамическая модель обтекания планет солнечным ветром, позволяющая рассматривать неосесимметричные магнитосферы. Показано, что главное влияние на течение оказывает компонента межпланетного магнитного поля (ММП), лежащая в плоскости минимального радиуса ривизны препятствия. Около обтекаемой поверхности образуется магнитный слой (рис. 5), характеризуемый малым отношением давлений газа и магнитного поля. Магнитные силы являются доминирующими в этом слое, вызывая значительное ускорение потока поперек магнитных силовых линий. Толщина магнитного слоя и отход ударной волны максимальны при ориентации ММП вдоль оси вращения планеты и минимальны при ориентации ММП параллельно плоскости экватора. Эти эффекты отсутствуют при обтекании осесимметричных препятствий, таких как магнитосферы Земли, Венеры, Марса.